"Could you possibly let me use your car?"
(ひょっとしてあなたの車を使わせていただくわけにはまいりませんでしょうか?)
解説
"Could I possibly use your telephone to ring to my office?" のように、 'could' と一緒に使われる 'possibly' は「もしかしてその可能性がちょっとでもあるでしょうか?」と本来は頼むべきことではないという話手の認識のもとに遠慮がちに問うものです。 "Could you possibly let me use your car?" は「ひょっとしてあなたの車を使わせていただくわけにはまいりませんでしょうか」くらいの丁寧性があります。 "Come as soon as you possibly can." (出来る限りは早く来てください)のように使います。